Hoje iremos aprender sobre valor posicional na matemática, é algo super importante, já que é uma das bases necessárias para entender como funciona o nosso sistema de número atual com base dez, depois que você aprender bem sobre isso aprender sobre os números binários, hexadecimais será mais fácil.
Imagina a seguinte situação: Você não sabe nada de matemática e decide começar a contar alguma coisa, como por exemplo a quantidade de ovelhas de uma fazenda, e para isso começa a usar paus de madeira.
Irei representar os paus de madeira usando o símbolo |
Para cada ovelha eu coloco um pau de madeira, digamos que tenho 3 ovelhas, então coloco 3 paus de madeira :
| | |
Digamos agora que tenho 20 ovelhas, então coloco 20 paus de madeira:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Observe que quanto mais ovelhas, mais quantidade de paus de madeira teremos, se para 20 já é difícil, imagina para 400 ovelhas. Para isso vamos tentar reduzir a quantidade de paus de madeira assumindo que para cada 10 paus de madeira eu terei um pau de madeira de cor vermelha.
Digamos então que quero representar o número 34 no sistema acima :
| | | | | | | = 3 paus vermelhos e 4 normais.
Ok, mas o que isso me ajuda a entender o sistema decimal que usamos hoje em dia? É que neste sistema nos agrupados de 10 em 10, talvez isso surgiu porque temos 10 dedos nas mãos, então é mais fácil contar. Então por exemplo o número 34, se você pensar é o mesmo que 30 + 4, ou seja, 3 dezenas e 4 unidades, 3 grupos de 10 mais 4 unidades. Já parou para pensar nisso?
Então o nosso sistema decimal é uma sistema de valor posicional, em outras palavras a posição do algarismo importa.
O primeiro algarismo 3 no número 33 tem um valor diferente, ele vale 30 ou 3 dezenas, já o segundo vale 3 unidades.
Espero que tenha entendido até aqui, é apenas uma introdução para entender basicamente como nosso sistema funciona.
Comparação de números.
Vamos estudar agora alguns símbolos matemáticos que são importantes entender para poder comparar números.
=
O sinal de igual serve para representar uma igualdade, por isso se chama igual, então por exemplo :
3 = 3
1+1 = 2
1+1 = 1+1
O que está no lado esquerdo tem que ser igual ao direito.
>
Este é o símbolo de maior que,
4 > 3
No exemplo acima estamos dizendo que 4 é maior que 3.
<
Este é o símbolo de menor que.
4 < 5
No exemplo acima estamos dizendo que 4 é menor que 5.
≠
Este é o símbolo de diferença, é usado para dizer que um número é diferente do outro.
5 ≠ 6
No exemplo acima estamos dizendo que 5 é diferente de 6, ou seja, não são números iguais.
Arredondamento para a dezena mais próxima.
Significa que iremos arredondar o número a dezena mais próxima.
Vamos pegar alguns números aleatórios.
36,55 e 63.
36 está mais próximo de 40 ou 30? Claro que está mais próximo de 40, logo arredondamos para cima, ou seja o resultado é 40.
55 está mais próximo de 40 ou 60? Neste caso temos um caso especial, por convenção, quando o número termina em 5, arredondamos para cima, portanto o resultado será 60.
63 está mais próximo de 50 ou 60? Está mais próxima de 60, logo o resultado do arredondamento será 60.
Então podemos estabelecer uma regra geral para arredondar números :
Quando o número terminar em 5 arredondamos para cima.
Quando a unidade do número for menor que 5, então arredondados para baixo.
Quando a unidade do número for maior que 5, então arredondados para cima.
Arredondamento para a dezena mais próxima.
Vamos pegar alguns números aleatórios.
136, 355 e 863.
Agora neste casos iremos arredondar para a centena mais próxima, ou seja múltiplos de 100.
Neste caso iremos ter que olhar na dezena para poder fazer o arredondamento.
136 está mais próximo de 100 ou 200? Claro que está mais próximo de 100, logo arredondamos para cima, ou seja o resultado é 100.
Descobrindo o valor posicional
No número 225, qual o valor do primeiro número 2? Vamos escrever o número de forma expandida :
222 = 200 + 20 + 5, portanto o valor é 225.
Você conseguiu observar algum padrão nos número 2 quando ele está mais a esquerda? Toda vez que o 2 vai para a esquerda multiplicamos por 10.
5x1 = 5, neste caso não temos nenhum grupo de 10, então multiplicamos por 1 para obter o próprio número.
2x10 = 20, pois o 2 nesse caso equivale a dizer 2 grupos de 10 que é igual a 20.
20x10 = 200, pois o 2 nesse caso equivale a dizer 20 grupos de 10 que é igual a 200. Podemos também escrever 2x10x10 = 200.
A partir daqui iremos entender o porquê dizemos também que o sistema decimal tem base 10. Lembra sobre as potências? A relação acima podemos escrever usando potências.
5x10^0 = 5
2x10^1 = 20
2x10^2 = 200
Nas potência o número que está sendo elevado é chamado de base, o número 10 é a base da potência no sistema decimal.
Agora vamos fazer outra pergunta para que você perceba outra relação :
No número 225, qual o valor do segundo número 2? Claramente é 20. Você percebeu que de 200 para que a gente possa chegar em 20 é só dividir por 10? Podemos dizer que o segundo 2 é dez vezes menor que o primeiro 2 ou 1/10 de 200. Então quando o número 2 vai à direita dividimos por 10.
A mesma relação das potências podemos usar para outros números, por exemplo :
123 = 100 + 20 + 3
3x10^0 = 3x1 = 3
2x10^1 = 2x10 = 20
1x10^2 = 1x100 = 100
Ordem e classes
No nosso sistema numérico nós separamos em ordem e classes.
A classe de números (ou classe numérica) é formada por unidade, dezena e centena e é composta por até três algarismos (a última classe pode não ter três algarismos).
A ordem de números começa da direita para a esquerda e representa a posição do algarismo que compõe o número.
O número 123.456 possui 6 algarismos, 2 classes e 6 ordens.
A cada nova classe é separado com um ponto.
O número 856.671.193 possui 9 algarismos, 3 classes e 9 ordens
Vamos entender melhor a definição com a tabela abaixo :
Perguntas com respostas :
1) Arredonde os números para a dezena mais próxima :
a)52
b)88
c)55
d)132
Respostas :
a - 50
b - 90
c - 60
d - 130
2) Arredonde os números para a centena mais próxima :
a)125
b)658
c)923
Respostas :
a - 100
b- 700
c - 900
3) Represente o número 1.234 de forma expandida e com potências.
Resposta :
1000+200+30+4
1x10^3 = 1000
2x10^2 = 200
3x10^1 = 30
4x10^0 = 4
4) 4.500 é igual a 3000 mais quantas centenas?
Resposta :
4.500 = 3000 + X centenas.
Vamos ver primeiro quanto falta para 3000 chegar a 4500
4500 - 3000 = 1500
Quanto 1500 vale em centenas? Quantas centenas temos em 1500?
15x100 ou 15x10^2 = 1500
Logo temos 15 centenas.
4.500 = 3000 + 15 centenas.
Espero que tenham gostado, qualquer dúvida é só deixar nos comentários.
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